Tytuł oryginału

PARADOX

THE NINE GREATEST ENIGMAS IN SCIENCE

Copyright © 2012 by Jim Al-Khalili

All rights reserved

Projekt serii

Prószyński Media

Opracowanie graficzne okładki

Zbigniew Larwa

Zdjęcie na okładce

Fot. NASA/koya979/Fotolia.com

Redaktor serii

Adrian Markowski

Redakcja

Anna Kaniewska

Korekta

Bronisława Dziedzic-Wesołowska

ISBN 978-83-7961-844-6

Warszawa 2014

Wydawca

Prószyński Media Sp. z o.o.

02-697 Warszawa, ul. Rzymowskiego 28

www.proszynski.pl

Julie, Davidowi i Kate

Podziękowania

Praca nad tą książką przyniosła mi wiele radości. Można powiedzieć, że materiał do niej zbierałem latami, prowadząc wykłady z fizyki, w czasie których nieraz musiałem tłumaczyć studentom paradoksy związane z zagadnieniami teorii względności czy mechaniki kwantowej. Właśnie te tematy trafiły na karty rozdziałów trzymanej przez Ciebie książki, choć oczywiście w innej formie. Jednak zebranie materiału to nie wszystko. Niewątpliwie książka ta nie powstałaby, gdyby nie pomoc i rady, jakich w ciągu roku pracy nad nią udzieliły mi pewne osoby. Mój agent literacki, Patrick Walsh, jak zawsze wspierał mnie bezgranicznie i zachęcał do pracy. Równie mocno w pracę nad książką zaangażowali się redaktorzy – Simon Thorogood z wydawnictwa Transworld i Vanessa Mobley z Crown. Winien też jestem najszczersze podziękowania adiustatorce Gillian Somerscales, która czuwała nad nadaniem książce ostatecznego kształtu. Bez jej uwag, poprawek i wytrwałości prezentowane tu wyjaśnienia problemów fizycznych z pewnością nie byłyby tak przejrzyste. Chciałbym też podziękować setkom studentów, którym miałem przyjemność wykładać fizykę na Uniwersytecie Surrey, to oni bowiem zmuszali mnie do „szczerości” w kwestiach tłumaczenia niuansów pewnych zagadnień. Wreszcie pragnę też podziękować mojej żonie Julie za niegasnący zapał, z jakim wspiera mnie we wszystkim, co robię.

Przedmowa

Świat jest pełen mniejszych i większych paradoksów. Niektóre z nich to proste zagadki logiczne, niewymagające głębszego analizowania, lecz są też takie, które dały początek całym dziedzinom wiedzy naukowej. W wielu wypadkach, by wyjaśnić paradoks, wystarczy zastanowić się trochę nad wprowadzonymi założeniami, często bowiem się zdarza, że to właśnie w nich kryje się błąd. W takich sytuacjach w zasadzie trudno mówić o paradoksie, bo raz rozwiązana zagadka przestaje nim być.

Prawdziwy paradoks prowadzi do pokrętnych, pełnych sprzeczności polemik albo opisuje sytuację niemożliwą z punktu widzenia logiki. Słowa tego używa się też w szerszym znaczeniu, obejmującym przypadki, które wolę określać mianem „pozornych paradoksów”. Tego rodzaju problemy daje się rozwikłać, bo sposób ich formułowania kryje w sobie jakiś podstęp czy drobne szalbierstwo mające wprowadzić czytelnika lub słuchacza w błąd. Gdy odkryjesz już, na czym w danym wypadku polega sztuczka, wrażenie sprzeczności z logiką czy wręcz absurdalności stwierdzenia natychmiast znika. Drugi rodzaj paradoksów pozornych to takie, w których pewne stwierdzenia czy wypływające z nich wnioski, choć wydają się bardzo nieintuicyjne czy wręcz błędne, po starannym zbadaniu okazują się prawdziwe, mimo że nie przestają zadziwiać.

Poza tym należałoby wyróżnić osobną kategorię: paradoksy fizyczne. Wszystkie, a przynajmniej większość z nich, można wyjaśnić, odwołując się do podstaw wiedzy z tej dziedziny. To właśnie im poświęciłem tę książkę.

Przyjrzyjmy się zatem prawdziwym paradoksom logicznym, żeby nie pozostawić wątpliwości, czym nie będę się zajmować. Prawdziwy paradoks przyjmuje postać, która nie pozwala w żaden sposób zweryfikować poprawności przedstawionego stwierdzenia.

Przykładem może być tu proste zdanie twierdzące: „To zdanie jest kłamstwem”. Na pierwszy rzut oka nie ma w nim nic dziwnego, żadnych ukrytych treści. Zastanów się jednak nad jego znaczeniem, a szybko się przekonasz, że tkwi w nim ukryty paradoks logiczny. Czy cztery słowa mogą przyprawić o ból głowy? Jeśli tak, to śmiem twierdzić, że będzie to interesujący przypadek dolegliwości, powiedziałbym nawet paradoksalny, jak bowiem sądzę, szybko poczujesz sadystyczną potrzebę przekazania problemu dalej – rodzinie czy znajomym.

Otóż ze słów „To zdanie jest kłamstwem” wynika, że szumnie zapowiadane kłamstwo jest w rzeczywistości fałszywe, zatem kłamstwem nie jest, co z kolei oznacza, że zdanie to głosi prawdę, czyli że słowa te są kłamstwem, co, jak wykazaliśmy, kłamstwem nie jest… tak można naprawdę w nieskończoność.

Świat zna wiele takich paradoksów. O nich nie będziemy mówić.

Skupimy się na moich ulubionych – zagadkach naukowych, które tak ochoczo nazywamy zazwyczaj właśnie paradoksami, chociaż wystarczy zastanowić się chwilę nad nimi czy spojrzeć pod odpowiednim kątem, by się przekonać, że nie mają one nic wspólnego z przeczącymi sobie stwierdzeniami. Problemy te przy pierwszym poznaniu wydają się sprzeczne ze zdrowym rozsądkiem, lecz później zawsze okazuje się, że zostały zaprezentowane z pominięciem jakiegoś istotnego drobiazgu fizycznego. Uwzględnienie takiego niuansu w rozważaniach kruszy fundamenty paradoksu i ostatecznie obala go na ziemię. Choć wyjaśnienia poruszanych tu zagadnień są znane od lat, nadal nazywamy je paradoksami – częściowo ze względu na złą sławę, jaką problemy te zyskały sobie w chwili ogłoszenia (zanim zrozumiano, gdzie kryje się haczyk), częściowo zaś dlatego, że przedstawiane w ten sposób pozwalają młodym adeptom nauki poznawać metody rozwiązywania trudniejszych problemów. Częściowo zaś dlatego, że wszyscy uwielbiamy badać paradoksy.

Wiele z zagadek, którymi będziemy się zajmować, na pierwszy rzut oka sprawia wrażenie paradoksów prawdziwych, a nie pozornych. O to właśnie chodzi. Przyjrzyjmy się pobieżnie prostej wersji paradoksu podróży w czasie – co stałoby się, gdyby za pomocą maszyny do podróży w czasie przenieść się w przeszłość i zabić młodszą wersję siebie? Co stałoby się z człowiekiem, który popełnił morderstwo? Przestałby istnieć, bo nie dopuścił, by jego młodsza wersja dorosła? A skoro człowiek ten nigdy nie osiągnął wieku, w którym wyrusza w podróż w czasie i staje się mordercą, to kto zabił jego młodszą wersję? Jego starsza wersja ma doskonałe alibi – nigdy nie istniała! Ostatecznie jeśli nie było nikogo, kto przeniósłby się w czasie i dokonał zbrodni, to młodsza wersja tego człowieka będzie żyć i osiągnie wiek umożliwiający jej odbycie podróży i dokonanie morderstwa, zatem w efekcie zbrodnia zostanie popełniona, morderca więc nie przetrwa… i tak dalej, i tak dalej. Wydaje się, że zagadnienie podróży w czasie jest źródłem typowego paradoksu logicznego, a mimo to fizycy nie przekreślili jeszcze całkowicie naszych nadziei na możliwości przemieszczania się wzdłuż osi czasu, przynajmniej nie teoretycznie. Jak zatem wydostać się z pętli paradoksu? Wyjaśnię to dokładnie w rozdziale 7.

Aby zdemaskować paradoks pozorny, wcale nie trzeba odwoływać się do wiedzy specjalistycznej. Zajrzyj do rozdziału 1, w którym przedstawiłem kilka przykładów paradoksów „rozwiązywalnych” za pomocą zwykłej logiki, a przekonasz się o tym osobiście. O czym mówię? Wyobraź sobie prosty paradoks statystyczny, w tym przykładzie nieskomplikowana korelacja prowadzi do błędnych wniosków: wiadomo, że w miastach, w których znajduje się większa liczba kościołów, odnotowuje się wyższy poziom przestępczości. Stwierdzenie takie zakrawa na paradoks, chyba że masz kościoły za wylęgarnie wszelkiego zła i źródło bezprawia, to zaś – niezależnie od światopoglądu – wydaje się wysoce nieprawdopodobne. A wyjaśnienie jest bardzo proste. Zarówno większa liczba świątyń, jak i wyższy poziom przestępczości wynikają bezpośrednio z większej liczby populacji. Jednocześnie należy pamiętać, że nawet jeśli z A wynika B i z A wynika C, to niekoniecznie z B wynika C czy odwrotnie.

Mam jeszcze jeden przykład łamigłówki, która pozornie wydaje się paradoksalna, ale wyłącznie do chwili przedstawienia wyjaśnień. Podsunął mi ją kilka lat temu pewien szkocki profesor fizyki, mój wielki przyjaciel. Utrzymuje on, że każdy Szkot, który przenosi się na południe, do Anglii, przyczynia się do podniesienia średniej wartości ilorazu inteligencji w obydwu krajach. Wyjaśnienie jest proste – Szkoci uważają, że są mądrzejsi od Anglików, zatem nawet jedna osoba z północy wyspy wystarczy, by podnieść średnią wartość IQ mieszkańców Anglii. Jednocześnie opuszczanie Szkocji świadczy o wyjątkowej głupocie, co oznacza, że na wyprowadzkę decydują się wyłącznie mniej inteligentni spośród górali, zatem każdy, kto wyjeżdża, sprawia, że średni poziom ilorazu inteligencji w Szkocji wzrasta. Jak widać, paradoksalne z pozoru stwierdzenie daje się wyjaśnić w całkowicie logiczny sposób, choć oczywiście logika ta nie trafia zupełnie do przekonania Anglików.

Rozdział 1 zawiera opisy kilku zabawnych paradoksów „z życia wziętych”, do których zrozumienia nie trzeba żadnej specjalistycznej wiedzy. Postaram się wyjaśnić, na czym one polegają, a potem zajmiemy się dziewięcioma pozornie sprzecznymi wewnętrznie problemami fizycznymi. Opiszę szczegółowo każdy z nich, a następnie rozbiorę je na czynniki pierwsze i wyjaśnię, gdzie kryje się błąd w rozumowaniu, lub wykażę, dlaczego dane spojrzenie na badane zagadnienie wcale nie kłóci się z logiką. Rozwiązywanie tych problemów daje satysfakcję, ponieważ każdy z nich stanowi intelektualną pożywkę dla umysłu i, co ważniejsze, ponieważ każdy z nich ma rozwiązanie. Trzeba tylko wiedzieć, gdzie szukać ich słabych punktów, jakie pytania zadać i do których fragmentów wiedzy fizycznej się odwołać, by paradoks przestał być paradoksem.

Niektóre z problemów, które przedstawię, na pewno są Ci znane. Większość z nas słyszała o kocie Schrödingera, nieszczęsnym zwierzaku zamkniętym w pudle, który do chwili otwarcia pojemnika jest jednocześnie żywy i martwy. Nieco mniej znaną istotą jest tak zwany demon Maxwella, choć nie wątpię, że znajdą się osoby, które o nim słyszały. Demon Maxwella to hipotetyczny twór sprawujący władzę nad innym zamkniętym pudłem, zdolny łamać najświętsze z przykazań fizyki – drugą zasadę termodynamiki. Demon Maxwella sprawia, że w nieuporządkowanym układzie pojawia się porządek. Do zrozumienia, na czym polegają te paradoksy, i poznania ich rozwiązań niezbędne jest pewne obycie w naukach ścisłych. Uznałem jednak, że da się wyjaśnić je w sposób prostszy, niewymagający od Ciebie znajomości rachunku różniczkowo-całkowego, termodynamiki czy fizyki kwantowej.

Część książki poświęciłem na omówienie kilku paradoksów związanych z teorią względności, o których wspominałem podczas prowadzonych kilkanaście lat z rzędu wykładów. Koncepcja czasu i przestrzeni, jaką zaproponował Einstein, pozwoliła wytłumaczyć skutecznie takie kłopotliwe zagadnienia jak paradoks tyczki w stodole, paradoks bliźniąt czy paradoks dziadka. Inne problemy, a wśród nich zagadki kota Schrödingera i demona Maxwella, muszą zdaniem niektórych poczekać jeszcze na wyjaśnienie.

Wybierając najciekawsze moim zdaniem z zagadek fizycznych, nie mierzyłem w wielkie i nierozwiązane do tej pory problemy – nie próbowałem na przykład odpowiedzieć na pytanie, czym są ciemna materia i ciemna energia, stanowiące w blisko dziewięćdziesięciu pięciu procentach budulec Wszechświata, ani nie starałem się wyjaśnić, czy przed Wielkim Wybuchem coś istniało, a jeśli tak, to czym było. Te niezwykle skomplikowane i niezmiernie istotne zagadnienia ciągle czekają na wyjaśnienie. Być może już niedługo, jeśli akceleratory cząstek takie jak genewski Wielki Zderzacz Hadronów będą nadal przyczyniać się do dokonywania nowych, emocjonujących odkryć, zdołamy wyjaśnić, czym w rzeczywistości jest ciemna materia, czyli główny składnik wszystkich galaktyk. Inne, na przykład dokładny opis czasu przed Wielkim Wybuchem, mogą nigdy nie znaleźć odpowiedzi.

Starałem się tak ułożyć listę tematów, którymi będziemy się zajmować, by omówić możliwie ciekawe zagadnienia i przedstawić jak najszerszy ich wachlarz. Wszystkie paradoksy wiążą się z pytaniami o naturę czasu i przestrzeni, o właściwości Wszechświata w wielkiej i małej skali. Są wśród nich zwiastuny teorii, które, choć początkowo brzmią fantastycznie, po poznaniu kryjących się za nimi idei stają się całkowicie zrozumiałe. Postaram się przedstawić je wszystkie w możliwie przystępny sposób, dając Ci przy tym, Drogi Czytelniku, jak najwięcej radości i rozrywki intelektualnej.

Rozdział 1

Paradoks teleturnieju

Proste przypadki prawdopodobieństwa potrafią nieźle namieszać w głowie.

Zanim na dobre utkniemy w fizyce, chciałbym wprowadzić Cię powoli w temat paradoksów, prezentując kilka prostych, zabawnych, ale też frustrujących zagadek. Podobnie jak pozostałe przedstawione w tej książce przykłady, problemy, z którymi za chwilę się zmierzysz, nie mają charakteru prawdziwych paradoksów logicznych. By je rozwiązać i zrozumieć, wystarczy chwilę się zastanowić. W odróżnieniu jednak od problemów, które przedstawię Ci później, w tym rozdziale znajdziesz wyłącznie takie zagadki, które nie wymagają znajomości fizyki. Aby je rozwikłać, wystarczy jedynie odwołać się do zasad logiki. Ostatnią z nich i, śmiem twierdzić, najciekawszą jest tak zwany paradoks Monty’ego Halla. Jego wyjaśnienie jest na tyle nieintuicyjne, że postanowiłem przedstawić je z różnych punktów widzenia, by umożliwić Ci jak najlepsze zrozumienie istoty tego problemu.

Omawiane tu zagadnienia dzielą się na dwie kategorie – są to albo paradoksy, albo tak zwane sofizmaty. Typowy paradoks to stwierdzenie prowadzące do wniosku sprzecznego z intuicją, bo kłócącego się ze zdrowym rozsądkiem, który jednak po dogłębnym przemyśleniu okazuje się prawdziwy. Można powiedzieć, że paradoksy tworzy zwodnicza logika. W wypadku rozwiązywania tych zagadek cała przyjemność polega na tym, by dowieść w możliwie niepodważalny sposób prawdziwości wątpliwego twierdzenia, często wbrew poczuciu, że gdzieś w niej musi kryć się haczyk. Do tej grupy należą niewątpliwie zarówno paradoks dnia urodzin, jak i paradoks Monty’ego Halla, które przedstawię już za chwilę.

Sofizmat rozpoczyna się całkowicie rozsądnym założeniem, prowadzi natomiast do zupełnie absurdalnych wniosków. W tym wypadku budzący kontrowersje wynik rzeczywiście jest niepoprawny, a uzyskuje się go zazwyczaj dzięki wprowadzeniu do dowodu twierdzenia niewidocznego na pierwszy rzut oka błędu czy niedomówienia.

Typowymi sofizmatami są wszelkiego rodzaju wyprowadzenia, które w kilku prostych krokach pozwalają „dowieść” prawdziwości twierdzenia 2 = 1. Nie podejrzewam, by do przyjęcia takiego wyniku zdołały przekonać Cię jakiekolwiek dowody matematyczne czy wywody filozoficzne. Tego rodzaju łamigłówki zostawimy innym, gdyż nie mam pewności, czy pałasz tak samo wielką miłością do matematyki jak ja i czy w związku z tym interesowałyby Cię rozważania pełne wzorów. Dodam natomiast, że obliczenia prowadzące do uzyskania „rozwiązań” wspomnianego rodzaju zawierają zazwyczaj krok, w którym pojawia się dzielenie przez zero – działanie, jakiego nie dopuściłby się żaden szanujący się matematyk. Zamiast rozważań ściśle matematycznych, chciałbym Ci teraz przedstawić kilka problemów, które można wyjaśnić bez uciekania się do bardziej złożonych działań. Zacznijmy od dwóch fascynujących sofizmatów – zagadki brakującego dolara i pudełka Bertranda.

Zagadka brakującego dolara

Problem ten to genialna zagadka logiczna. Przytaczałem ją już w programie telewizyjnym Mind Games, w którym gościłem kilka lat temu, z tym że bynajmniej nie roszczę sobie do niej praw autorskich. Formuła programu zakładała, że zapraszani co tydzień goście będą rywalizować ze sobą, rozwiązując zagadki przedstawiane przez prowadzącego – matematyka Marcusa du Sautoy. Poza tym każdy miał pokazać własny problem, by wywieść w pole przeciwników.

Oto zadanie, jakie przyszło rozwiązać moim przeciwnikom.

Trzech podróżnych zatrzymuje się na noc w hotelu. Recepcjonista proponuje im trzyosobowy pokój i wystawia rachunek opiewający na trzydzieści dolarów. Podróżni uzgadniają, że opłacą go, dzieląc się sprawiedliwie kosztami, każdy więc wręcza recepcjoniście dziesięć dolarów. Następnie biorą klucz i idą urządzić się przed snem. Po kilku minutach recepcjonista uświadamia sobie, że popełnił błąd. Przez cały najbliższy tydzień obowiązuje cennik promocyjny, zgodnie z którym jedna noc w pokoju trzyosobowym kosztuje tylko dwadzieścia pięć dolarów. Aby nie narazić się na naganę, recepcjonista szybko koryguje rachunek i wyciąga z kasy różnicę, którą chce oddać podróżnym. W drodze do pokoju przychodzi mu do głowy, że nie zdoła podzielić pięciu dolarów równo między trzech mężczyzn, postanawia więc oddać każdemu z nich po jednym dolarze, a dwa zatrzymać dla siebie. Dzięki temu wszyscy będą zadowoleni, uspokaja sumienie. W ten sposób docieramy do sedna problemu – każdy z trzech podróżnych zapłaci ostatecznie za pokój dziewięć dolarów, co oznacza, że do hotelowej kasy trafi dwadzieścia siedem dolarów. Recepcjonista zachowa dla siebie dwa dolary. Łącznie daje to kwotę dwudziestu dziewięciu dolarów. Gdzie zniknął jeden dolar z początkowej kwoty trzydziestu, jaką turyści wpłacili pierwotnie w recepcji?

Nie wykluczam, że jesteś w stanie od razu podać rozwiązanie tej zagadki. Ja niestety nie potrafiłem, gdy zetknąłem się z nią po raz pierwszy, dlatego zanim je ujawnię, pozwolę Ci nieco się nad nim zastanowić.

Już wiesz? Cała trudność z tą zagadką polega na zwodniczym sposobie, w jaki sformułowano problem. Dlatego sprawia ona wrażenie paradoksu. Błędem w rozumowaniu jest dodawanie do kwoty dwudziestu siedmiu dolarów dwóch zabranych przez recepcjonistę. Działanie to nie ma sensu, gdyż po wprowadzeniu korekty rachunek za pokój nie opiewa już na trzydzieści dolarów, suma nie musi więc równoważyć tej kwoty. Dwa dolary, które zabrał recepcjonista, należy odjąć od dwudziestu siedmiu dolarów wpłaconych przez podróżnych – to daje dwadzieścia pięć dolarów, czyli dokładnie tyle, ile wynosi nowy rachunek.

Pudełko Bertranda

Drugim sofizmatem, jaki chciałbym Ci przedstawić, jest problem sformułowany przez dziewiętnastowiecznego francuskiego matematyka Josepha Bertranda. (To nie najsłynniejszy z paradoksów wskazanych przez Bertranda; wyjaśnienie tamtego wymaga znacznie większej biegłości matematycznej).

Masz trzy pudełka, a w każdym z nich dwie monety. Pudełka są podzielone na dwie części tak, że w każdej z nich znajduje się jedna moneta, mają też dwie klapki pozwalające zaglądać osobno do każdej komory (dzięki temu, zaglądając do pudełka, możesz sprawdzić tylko jedną z monet). W jednym pudełku znajdują się dwie złote monety (to pudełko oznaczymy symbolem ZZ), w drugim dwie monety srebrne (to będziemy nazywać SS), a w trzecim – moneta srebrna i złota (ZS). Ile wynosi prawdopodobieństwo wskazania pudełka zawierającego dwie różne monety? W tym wypadku odpowiedź jest prosta: jedna trzecia. Jednak nie na tym polega paradoks Bertranda.

Rysunek 1.1. Pudełka Bertranda.

Teraz wybierzmy losowo jedno pudełko. Co się zmieni, jeśli po otwarciu jednego wieczka zobaczysz złotą monetę? Ile teraz wynosi prawdopodobieństwo trafienia na pudełko z dwiema różnymi monetami? Skoro w pierwszym pudełku znajduje się złota moneta, można z całą pewnością stwierdzić, że nie jest to pudełko oznaczone jako SS. Tę opcję należy wykluczyć, zatem do wyboru mamy dwa pudełka – albo właśnie otworzyliśmy pudełko ZZ, albo trafiliśmy na pudełko ZS. To powinno oznaczać, że prawdopodobieństwo znalezienia pudełka ZS wzrosło właśnie do jednej drugiej, prawda?

Gdyby pod pokrywką zamiast złotej monety znajdowała się srebrna, moglibyśmy odrzucić możliwość trafienia w pudełko ZZ. W ten sposób do wyboru pozostawałyby tylko pudła SS lub ZS, zatem szansa na to, że mamy do czynienia z pudłem o symbolu ZS, znów osiągnęłaby wartość jednej drugiej.

Podsumujmy, co wiemy. Po otwarciu pokrywki zawsze zobaczysz albo srebrną, albo złotą monetę. Jednocześnie wiemy, że w pudełkach rozłożone są trzy monety z każdego rodzaju. Oznacza to, że szansa trafienia na monetę srebrną jest taka sama jak szansa trafienia na monetę złotą oraz że prawdopodobieństwo trafienia na pudełko ZS wynosi jedna druga, niezależnie od tego, jaka moneta kryła się pod klapką. Wynikałoby stąd, że po poznaniu zawartości jednej połowy wybranego pudełka całkowite prawdopodobieństwo znalezienia pudełka ZS zmienia się z początkowej wartości jednej trzeciej do wartości jednej drugiej. Ale w jaki sposób wiedza o tym, co znajduje się wewnątrz pudełka, może tak zmienić prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia? Wybierając pudełko losowo, bez wcześniejszego otwarcia jego pokrywki, możesz wskazać właściwe z prawdopodobieństwem jedna trzecia, jak zatem wiedza na temat jednej ze znajdujących się w nim monet, z której zresztą nie wypływa żadna dodatkowa informacja – bo przecież i tak wiesz, że pod pokrywką znajdziesz srebrną lub złotą monetę – miałaby zwiększyć prawdopodobieństwo? Gdzie popełniliśmy błąd?

Prawidłowa odpowiedź na zagadkę Bertranda brzmi następująco: prawdopodobieństwo wskazania pudełka ZS zawsze wynosi jedna trzecia i nie zmienia się, niezależnie, czy zobaczysz jedną z monet czy nie. Rozważmy przypadek, w którym w pudełku odkrywasz złotą monetę. We wszystkich pudełkach znajdują się trzy złote monety – nazwijmy je Z1, Z2 i Z3. Przyjmijmy też, że w pudełku ZZ znajdują się monety Z1 i Z2, natomiast w pudełku ZS leży moneta Z3. Jeśli po otwarciu jednego pudełka okaże się, że znajduje się w nim złota moneta, to będzie można powiedzieć z prawdopodobieństwem równym dwie trzecie, że otwarte zostało pudełko ZZ, a moneta, na którą patrzysz, to albo Z1, albo Z2. Prawdopodobieństwo trafienia na monetę Z3 wynosi zaledwie jedną trzecią, tak samo jak prawdopodobieństwo wskazania pudełka ZS.

Paradoks urodzin

Paradoks urodzin to jeden z szerzej znanych paradoksów matematycznych. Zdecydowanie nie można zaliczać go do grupy sofizmatów. W odróżnieniu od dwóch podanych wcześniej przykładów w wyjaśnieniu tej zagadki nie znajdziesz żadnego szalbierstwa, nie zdołasz wskazać błędu rozumowania ani żadnej sprytnej sztuczki, która by je podważała. Niezależnie od tego, czy przedstawione rozwiązanie przekona Cię do prawdziwości podanego wyniku czy nie, wiedz, że jest on całkowicie poprawny i nie zawiera żadnych nieścisłości logicznych ani rachunkowych. Właśnie frustracja pojawiająca się w takich momentach sprawia, że paradoksy są naprawdę zabawne.

Oto jak prezentuje się następna zagadka.

Ile osób powinno się znaleźć w pomieszczeniu, aby móc powiedzieć z prawdopodobieństwem większym niż pięćdziesiąt procent, że dowolne dwie z nich obchodzą urodziny tego samego dnia roku? Innymi słowy, ilu osób potrzeba w pomieszczeniu, aby bardziej prawdopodobne było znalezienie takiej pary?

Zacznijmy od nieco naiwnego podejścia zdroworozsądkowego (które oczywiście wyprowadzi nas w pole). Zwykły rok ma 365 dni, wyobraźmy sobie zatem salę wykładową z 365 wolnymi miejscami. Niech do sali wejdzie setka studentów i niech każdy z nich zajmie losowo wybrane miejsce. Osoby znające się bliżej usiądą obok siebie, kilka osób spróbuje skryć się w tylnych rzędach, by móc spokojnie przespać wykład, a ci bardziej zainteresowani znajdą się bliżej. Oczywiście żaden student nie usiądzie na już zajętym miejscu, ale intuicja podpowiada, że przy takiej liczbie osób mało prawdopodobne jest, by dwie chciały w ogóle zajmować to samo miejsce.

Jeśli do problemu urodzin podejdziemy w ten sam zdroworozsądkowy sposób, dojdziemy do wniosku, że szanse na to, by w grupie stu osób znalazły się dwie, które obchodzą urodziny tego samego dnia roku, są naprawdę nikłe, szczególnie że dni w roku jest tyle samo co miejsc siedzących w hipotetycznej sali wykładowej. Oczywiście nie możemy wykluczyć całkowicie tego, że na sali znajdzie się taka para, ale intuicja podpowiada, że to wysoce nieprawdopodobne.

Naturalnie w grupie 365 osób (przypominam, że nie bierzemy pod uwagę lat przestępnych) muszą znaleźć się dwie świętujące urodziny w tym samym dniu – tego nie trzeba nikomu udowadniać. Prawdziwa zabawa zacznie się, gdy zmniejszymy liczebność grupy.

Choć wydaje się to niewiarygodne, to aby prawdopodobieństwo znalezienia w jednym pokoju dwóch osób obchodzących urodziny tego samego dnia wynosiło aż dziewięćdziesiąt dziewięć procent, wystarczy, by w pomieszczeniu tym przebywało zaledwie pięćdziesiąt siedem osób. Oznacza to, że w grupie pięćdziesięciu siedmiu osób prawie na pewno znajdą się dwie, które urodziły się tego samego dnia roku! Już w samo to trudno uwierzyć, a co dopiero począć na wieść, że aby znalezienie takich dwóch osób było „bardziej prawdopodobne niż nieznalezienie” (co odpowiada prawdopodobieństwu większemu od jednej drugiej), wystarczy znacznie mniej liczna grupa, bo zaledwie dwudziestotrzyosobowa!

Wynik ten budzi wątpliwości większości ludzi, nawet gdy przekona się ich, że jest on poprawny. Przyczyna jest prosta – taka odpowiedź kłóci się z intuicją. Dlatego przedstawię Ci dowód matematyczny. Postaram się przy tym, by był on możliwie łatwy do przyswojenia.

Zaczniemy od uproszczenia problemu. Przyjmijmy, że nie będziemy zajmować się latami przestępnymi, dzięki czemu prawdopodobieństwo, że danego dnia ktoś obchodzi urodziny, będzie równo prawdopodobne dla wszystkich dat. Załóżmy także, że w grupie ludzi, o których mowa, nie ma bliźniąt.

Rozważający ten problem popełniają zazwyczaj błąd polegający na założeniu, że rozwiązania należy szukać przez porównanie dwóch liczb: liczby osób w pomieszczeniu i liczby dni w roku. W ten sposób dochodzą do wniosku, że skoro mają do wyboru 365 dni, na które mogą przypadać urodziny dwudziestu trzech osób, to znalezienie dwojga ludzi, którzy obchodziliby święto tego samego dnia, jest bardzo mało prawdopodobne. Jednak takie podejście do problemu prowadzi do błędnych wniosków. Rozważania dotyczące ludzi obchodzących urodziny tego samego dnia dotyczą par, a nie pojedynczych osób, zatem należy się zastanowić, ile par da się utworzyć w danej grupie ludzi. Zacznijmy od najprostszego przypadku: trzech osób w pokoju. W grupie trzech osób możemy wskazać trzy pary: A–B, A–C i B–C. Po zwiększeniu grona zainteresowanych do czterech osób zdołamy podać sześć par: A–B, A–C, A–D, B–C, B–D, C–D, natomiast gdy w pomieszczeniu znajdą się dwadzieścia trzy osoby, takich par zdołamy utworzyć 2531. Znacznie łatwiej jest uwierzyć, że pośród 253 par znajdujących się w sali znajdzie się taka, w której ludzie będą obchodzić urodziny tego samego dnia spośród 365 dni w roku.

Aby właściwie wyznaczyć prawdopodobieństwo zajścia takiego zdarzenia, należy dodawać do próbki kolejne osoby i sprawdzać, jak zmieniają się szanse na świętowanie urodzin jednego dnia. Zadania tego rodzaju rozwiązuje się, sprawdzając, z jakim prawdopodobieństwem kolejne osoby będą świętować w inne dni niż te, które już znalazły się w pomieszczeniu. Zatem szanse na to, że druga z wpuszczonych do sali osób będzie urodzona innego dnia niż pierwsza, wynoszą 345:365, ponieważ ma ona do dyspozycji wszystkie dni roku z wyjątkiem jednego. Prawdopodobieństwo, że trzecia osoba urodziła się innego dnia niż pierwsza i druga, wynosi 363:365. Jednocześnie nie wolno nam zapominać, że pierwsze dwie też nie mogą obchodzić tego dnia razem urodzin (to prawdopodobieństwo opisuje pierwsza wyznaczona przez nas wartość, 364:365). Teoria prawdopodobieństwa uczy nas, że prawdopodobieństwo zajścia w jednej chwili dwóch niezależnych zdarzeń wyznacza się, obliczając iloczyn prawdopodobieństw zajścia każdego z nich osobno. Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia, że druga osoba urodziła się innego dnia niż pierwsza, a trzecia innego dnia niż pierwsza i druga, wynosi 364/365 × 363/365 = 0,9918. Wreszcie jeśli prawdopodobieństwo uniknięcia wspólnych urodzin w grupie trzech osób wynosi właśnie tyle, to prawdopodobieństwo wystąpienia w tej grupie dowolnej pary, która obchodziłaby urodziny jednego dnia, wynosi 1 − 0,9918 = 0,0082. Jak widać, prawdopodobieństwo znalezienia dwóch osób urodzonych tego samego dnia w grupie trzech osób jest znikome, czego zresztą można było się spodziewać.

Idźmy dalej tym tropem. Będziemy wpuszczać do sali kolejne osoby i jednocześnie budować łańcuch mnożonych przez siebie ułamków pozwalający określić prawdopodobieństwo tego, że każda z osób znajdujących się w sali świętuje w innym dniu. Procedurę zakończymy dopiero wtedy, gdy wynik spadnie poniżej 0,5, czyli gdy stanie się mniejszy niż 50 procent. Proste rachunki pokazują, że w tym celu należy pomnożyć dwadzieścia trzy kolejne ułamki, co odpowiada wpuszczeniu do sali dwudziestu trzech osób:

23 wymnożone ułamki

Oznacza to, że prawdopodobieństwo znalezienia wśród dwudziestu trzech osób dwóch, które obchodziłyby urodziny jednego dnia, wynosi:

1 − 0,4927 = 0,5073 = 50,73%.

C.d. w pełnej wersji

1 Istnieje wzór pozwalający to obliczyć. Jest to tak zwany dwumian Newtona. W omawianym przykładzie przyjmie on postać:

Rozdział 2

Achilles i żółw

Ruch to tylko złudzenie.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 3

Paradoks Olbersa

Dlaczego nocą jest ciemno?

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 4

Demon Maxwella

Czy można zbudować perpetuum mobile?

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 5

Tyczka w stodole

Ile mierzy kawałek sznurka? To zależy, jak szybko się porusza.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 6

Paradoks bliźniąt

Poruszając się z odpowiednio dużą prędkością, można trafić w przyszłość.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 7

Paradoks dziadka

Jeśli cofniesz się w czasie i zabijesz własnego dziadka, nigdy się nie narodzisz.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 8

Demon Laplace’a

Czy jedno uderzenie skrzydła motyla może ocalić nas od przewidywalnej przyszłości?

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 9

Kot Schrödingera

Kot zamknięty w pudełku jest jednocześnie żywy i martwy – dopóki ktoś nie zajrzy do środka.

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 10

Paradoks Fermiego

Gdzie oni wszyscy są?

Dostępne w pełnej wersji

Rozdział 11

Pozostałe pytania

Czy cząstki mogą poruszać się szybciej niż światło, czy mamy wolną wolę oraz wszystko inne, co nas trapi…

Dostępne w pełnej wersji